图解四种背包问题及其优化方式

技术01-01-2023

导读

本文将讲解四种背包问题及其优化方式，希望对你有帮助！ ^_^

背包分类

每件/种物品体积Vi
不超过背包容量的总价值最大化W（不一定装满）

01 背包：每件物品最多只用一次
完全背包：每件物品无限个
多重背包：每件物品有限ai个
分组背包：从每组选择一个

01背包与动态规划思路

01动态规划.png

代码实现（二维朴素法）

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N = 1010;

int n,m;
int v[N],w[N];//默认初始为0
int dp[N][N];

int main() {
	
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <=n; i++) cin >> v[i] >> w[i];

	for(int i = 1; i <=n; i++) 
		for(int j = 0; j <=m; j++) {
			dp[i][j] = dp[i-1][j];
			if(j>=v[i]) dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i-1][j-v[i]] + w[i]);
		}
	cout<<dp[n][m]<<endl;
	return 0;
}

代码实现（滚动数组，状态压缩）

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n,m;
int v[N],w[N];
int dp[N];

int main() {
	cin>>n>>m;
	for (int i = 1; i <= n; i++) cin>>v[i]>>w[i];
	
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	    for(int j = m; j >= v[i]; j--) {
	    	//这里空集部分判断直接挪到循环里面
	    	//不用推导，直接继承上一层
	    	dp[j] = max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
		}
	cout<<dp[m]<<endl;
	return 0;
}

完全背包与数列推导优化

最朴素的思路起点

代码实现（显然会超时，1000三次方过亿次了，C++的 1s 大体运行一亿次）

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n,m;
int v[N],w[N];
int f[N][N];

int main() {
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];
    
    for(int i = 1; i <= n; i++) 
       for(int j = 0; j<= m; j++) 
          for(int k = 0; k*v[i] <= j; k++)
              f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
    cout << f[n][m]<<endl;
    return 0;
}

DP常见的数列推导优化

推导递推公式，常减去一项来观察规律实现降维。

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n,m;
int v[N],w[N];
int f[N][N];

int main() {
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];
    
    for(int i = 1; i <= n; i++) 
       for(int j = 0; j<= m; j++) {
           f[i][j] = f[i-1][j];
           if(j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
       }
           
    cout << f[n][m]<<endl;
    return 0;
}

状态压缩

区分 01背包(全上层) 和完全背包(本层+上层) 的遍历顺序。

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n,m;
int v[N],w[N];
int f[N];

int main() {
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];
    
    for(int i = 1; i <= n; i++) 
       for(int j = v[i]; j<= m; j++) {
           f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
       }
           
    cout << f[m]<<endl;
    return 0;
}

多重背包与二进制枚举优化

最朴素的思路起点（如果数据过大和完全背包一样超时）

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 110;

int n,m;
int v[N],w[N],s[N];
int f[N][N];

int main() {
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i] >> s[i];
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
       for(int j = 0; j <= m; j++) 
          for(int k = 0; k*v[i] <= j && k <= s[i]; k++) {
              f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
          }
    cout << f[n][m]<<endl;
    return 0;
}

二进制枚举优化

比如要枚举0->1023中所有的数能不能凑成其中任意一个数
我们平常的枚举方法就是：0,1,2,3,4,5,…,1023。这样枚举1024次
使用二进制枚举优化，就可以只需枚举10次就可以枚举出任意一个数。
将0 ~ 1023这1024个数分为10个组，
每组分别是：1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 这10个数字(2^0 2^1 2^2 … 2^9)。
在枚举的时候只枚举这10个数字，选或不选。就可以枚举出0~1023中的任意一个数字

二进制枚举优化代码实现

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 25000;

int n,m;
int v[N],w[N];
int f[N];

int main() {
    cin >> n >> m;
    int cnt = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int a,b,s;
        cin >> a >> b >> s;
        int k = 1;
        while(k <= s) {
            cnt++;
            v[cnt] = a*k;
            w[cnt] = b*k;
            s -= k;
            k *= 2;
        }
        if(s > 0) {
            cnt++;
            v[cnt] = a*s;
            w[cnt] = b*s;
        }
    }
    n = cnt;
    for(int i = 1; i <= n; i++) 
       for(int j = m; j >= v[i]; j--)
          f[j] = max(f[j],f[j-v[i]] + w[i]);
          
    cout << f[m] << endl;
    return 0;
}

分组背包与状态压缩总结

和01背包特别像，不过多一个组内选择

状态压缩以及遍历顺序的总结

只要是上一层推导的，则从后往前
如果是同层推导的，则从前往后
只要是由上层某个方向定向推来的，就可以进行状态压缩

代码实现

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 110;

int v[N][N],w[N][N],s[N];
int f[N];
int n,m;

int main() {
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> s[i];
        for(int j = 1; j<= s[i]; j++) {
            cin >> v[i][j] >> w[i][j];
        }
    }
    
    for(int i = 1; i <= n; i++) 
       for(int j = m; j >= 0; j--)
           for(int k = 1; k <= s[i]; k++)
              if(j >= v[i][k]) f[j] = max(f[j],f[j-v[i][k]]+w[i][k]);
    cout << f[m] << endl;
    return 0;
}